Article,
Über die nichtarchimedischen Gröensysteme.
Sitzungsber., Abt. IIa, Österr. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl., (1907)
Abstract
Die Arbeit stellt eine allgemeine Untersuchung über die möglichen nichtarchimedischen Zahlensysteme dar. Diese werden definiert als ein System einfach geordneter Dinge, für eine Verknüpfung zu je zweien gegeben ist, welche die bekannten Gesetze der Addition mit Ausschluß\ des archimedischen Axioms befriedigt. Unter Benutzung des Zermolschen Wohlordnungssatzes wird gezeigt, daß\ jedes solches Gröensystem erzeugt werden kann durch ein ``absteigend'' wohlgeordnetes System von Einheiten: jeder Zahl $A$ eines solchen System kann ein-eindeutig zugeordnet werden ein Ausdruck von der Form: $$\alphaa_0e_0+a_1c_1+\cdots+a_ømegae_ømega+\cdots,$$ wo die $a_i$ gewöhnliche reelle positive oder negative Zahlen sind, und wobei der Summe zweier Zahlen $A_1$ und $A_2$ des Systems die aus den entsprechenden komplexen Zahlen $\alpha_1+\alpha_2$ entspricht. Ein System $G$ wird vollständig genannt, wenn in einem zugeordneten System von komplexen Zahlen auch umgekehrt jedem System von Koeffizienten $a_0,\dots,a_ømega,\dots$ eine Zahl von $G$ entspricht. Es wird gezeigt, daß\ nur für solche Systeme eine geeignete Modifikation des Hilbertschen Vollständigkeitsaxioms gültig ist. Zuletzt wird gezeigt, daß\ man an gewissen vollständigen Systemen eine weitere Verknüpfung als Multiplikation einführen kann, die (zusammen mit der Addition) alle Rechnungsregeln erfüllt.
