Mathematik I f
̈
ur inf/swt
PD Dr. P.H. Lesky
P
(
N
) ist gleich m
̈
achtig wie
R
1. Vorbemerkung: Die Relation “ist gleich m
̈
achtig wie” ist eine
̈
Aquivalenzrelation auf
der Menge aller Mengen. Insbesondere ist diese Relation tra
nsitiv:
A
gleich m
̈
achtig
B
∧
B
gleich m
̈
achtig
C
⇒
A
gleich m
̈
achtig
C
2. Sei
M
1
die Menge aller 0-1-Folgen:
M
1
:=
(
a
n
)
n
∈
N
∀
n
∈
N
:
a
n
= 0
∨
a
n
= 1
Wir zeigen:
M
1
und
P
(
N
) sind gleich m
̈
achtig: Die Abbildung
f
:
P
(
N
)
→
M
1
:
M
7→
(
a
n
) mit
a
n
:= 1 falls
n
∈
M
,
a
n
:= 0 falls
n
6∈
M
ist offensichtlich bijektiv.
3. Nun soll gezeigt werden, dass
M
1
gleichm
̈
achtig wie
M
2
:= [0
,
1[ ist. Wir verschieben
das auf sp
̈
ater und zeigen jetzt, dass
M
2
gleichm
̈
achtig wie
M
3
:=]0
,
1[ ist. Hier ver-
wenden wir eine einfache Version des Arguments, das sp
̈
ater beim Beweis von “
M
1
gleichm
̈
achtig wie
M
2
” verwendet wird.
Definiere
f
: [0
,
1[
→
]0
,
1[:
x
7→
1
2
falls
x
= 0
1
2
j
+1
falls
x
=
1
2
j
f
̈
ur ein
j
∈
N
x
sonst
Das bedeutet: 0
7→
1
2
,
1
2
7→
1
4
,
1
4
7→
1
8
, . . .
und alle
x
, die nicht als 0 oder
1
2
j
dargestellt
werden k
̈
onnen, werden auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist
offensichtlich
bijektiv.
4. Dass
M
3
:=]0
,
1[ gleichm
̈
achtig wie
R
ist, sieht man an der Abbildung
f
:]0
,
1[
→
R
:
x
7→
tan
π
(
x
−
1
2
)
oder an der Abbildung
̃
f
:]0
,
1[
→
R
:
x
7→
1
x
(
x
−
1)
.
Datei: /hm/mathe-inf/Zusatzmaterial/maechtigkeit